BAB III KURVA BERDERAJAT DUA

KURVA BERDERAJAT DUA


Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu yang dimaksud disebut titik pusat. Berikut gambar lingkaran:




Berdasarkan definisi itu,dapat ditentukan persamaan lingkaran.
jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r maka kita gunakan rumus 




Persaman Umum Lingkaran











setelah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu 
(x – a)² + (y – b)² = r².
Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²
x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – r²) = 0
x² + y² + Ax + By + C = 0
dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a² + b² – r²); A, B, dan C bilangan real. Jadi,
x² + y² + Ax + By + C = 0
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan jari-jari r, 
A = –2a, B = –2b, C = a2 + b2 – r2, A, B, dan C bilangan real.
Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda.
Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh
x² + y² + Ax + By + C = 0
(x² + Ax) + (y² + By) = –C
\left (x^{2}+Ax+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \right )+\left ( y^{2}+By+\left ( \frac{1}{2}A \right )^{2} \right )=\left (\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left (\frac{1}{2}B \right )^{2}-C
\left ( x+\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( x+\frac{1}{2}B \right )^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C
Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran \left (\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right ) dan jari-jari lingkaran r = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}

Persamaan Parametrik Lingkaran












pada gambar diatas,koordinat titik T(x,y) yang terletak pada lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r akan memenuhi persamaan berikut ini.







dalam hal ini,a adalah suatu parameter. Dikatakan persamaan diatas adalah persamaan parameter suatu lingkaran secara lebih jelas, dengan mengeliminasi parameter a akan diperoleh persamaan.
 Garis Singgung Lingkaran

1.garis singgung persekutuan dalam









Rumus menentukan garis singgung:



 Menentukan jari-jari lingkaran untuk R > r

dimana:
p = jarak titik pusat dua lingkaran
d = panjang garis singgung lingkaran dalam
R = jari-jari lingkaran pertama
r = jari-jari lingkaran kedua

2.garis singgung pesekutuan luar








Rumus menentukan garis singgung persekutuan luar:




Menentukan jari-jari lingkaran untuk R > r




dimana:
p = jarak titik pusat dua lingkaran
d = panjang garis singgung lingkaran luar
R = jari-jari lingkaran pertama
r = jari-jari lingkaran kedua







Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

BAB IV Elips, Parabola, Hiperbola

Gambar
BAB IV  Elips, Parabola, Hiperbola   Sebuah kurva bidang ( plane curve ) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut: A x 2 + B y 2 + C xy + D x + E y + F = 0     dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak nol.  Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk kurva berderajat dua yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola: Contoh kurva berderajat dua dari irisan sebuah kerucut Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva t
Baca selengkapnya

BAB VI PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

Gambar
PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG  1. PERSAMAAN PARAMETRIK Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik.  Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t.  Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis: x = x (t)    y = y (t)   Kita telah lama terbiasa dengan kurva yang didenisikan oleh sebuah persamaan yang menghubungkan koordinat x dan y:  Contohnya persamaan eksplisit seperti y = x2 atau implisit seperti x2 + y2 = 13: Dalam geometri persamaan yang bergantung pada lokasi disebut persamaan ekstrinsik. Persamaan y = x2 disebut persamaan eksplisit karena y didenisikan sebagai fungsi dari x: Jadi, untuk menentukan (satu-satunya) titik pada kurva dengan x = 3; untuk tiap x; cukup substitusikan nilai x = 3 pada fungsi x2 untuk memperoleh y = 9: Maka diperoleh (3;9) berada pada parabola y = x2: Sedangkan, pada persamaan implisit, ketika nilai x = 3 disub
Baca selengkapnya

BAB V KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

Gambar
KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB Sebuah titik P (selain titik kutub/titik asal) dinyatakan kedudukan oleh titik O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub. Apabila r adalah jarak antara titik O dan titik P; sedangkan 𝞱 adalah salah satu sudut antara OP dan sumbu kutub, maka (r , 𝞱 ) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P dan ditulis P(r , 𝞱 )Selanjutnya r disebut jari-jari penunjuk dari P atau radius vektor dari P, sedangkan 𝞱 disebut argumen dari P atau sudut kutub dari P.   11.   Sistem Koordinat Kutub        Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telah memperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan system koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 1). Sistem koordinat ini adalah
Baca selengkapnya