BAB III KURVA BERDERAJAT DUA

KURVA BERDERAJAT DUA


Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu yang dimaksud disebut titik pusat. Berikut gambar lingkaran:




Berdasarkan definisi itu,dapat ditentukan persamaan lingkaran.
jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r maka kita gunakan rumus 




Persaman Umum Lingkaran











setelah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu 
(x – a)² + (y – b)² = r².
Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²
x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – r²) = 0
x² + y² + Ax + By + C = 0
dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a² + b² – r²); A, B, dan C bilangan real. Jadi,
x² + y² + Ax + By + C = 0
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan jari-jari r, 
A = –2a, B = –2b, C = a2 + b2 – r2, A, B, dan C bilangan real.
Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda.
Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh
x² + y² + Ax + By + C = 0
(x² + Ax) + (y² + By) = –C
\left (x^{2}+Ax+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \right )+\left ( y^{2}+By+\left ( \frac{1}{2}A \right )^{2} \right )=\left (\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left (\frac{1}{2}B \right )^{2}-C
\left ( x+\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( x+\frac{1}{2}B \right )^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C
Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran \left (\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right ) dan jari-jari lingkaran r = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}

Persamaan Parametrik Lingkaran












pada gambar diatas,koordinat titik T(x,y) yang terletak pada lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r akan memenuhi persamaan berikut ini.







dalam hal ini,a adalah suatu parameter. Dikatakan persamaan diatas adalah persamaan parameter suatu lingkaran secara lebih jelas, dengan mengeliminasi parameter a akan diperoleh persamaan.
 Garis Singgung Lingkaran

1.garis singgung persekutuan dalam









Rumus menentukan garis singgung:



 Menentukan jari-jari lingkaran untuk R > r

dimana:
p = jarak titik pusat dua lingkaran
d = panjang garis singgung lingkaran dalam
R = jari-jari lingkaran pertama
r = jari-jari lingkaran kedua

2.garis singgung pesekutuan luar








Rumus menentukan garis singgung persekutuan luar:




Menentukan jari-jari lingkaran untuk R > r




dimana:
p = jarak titik pusat dua lingkaran
d = panjang garis singgung lingkaran luar
R = jari-jari lingkaran pertama
r = jari-jari lingkaran kedua







Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

BAB IV Elips, Parabola, Hiperbola

Gambar
BAB IV  Elips, Parabola, Hiperbola   Sebuah kurva bidang ( plane curve ) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut: A x 2 + B y 2 + C xy + D x + E y + F = 0     dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak nol.  Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk kurva berderajat dua yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola: Contoh kurva berderajat dua dari irisan sebuah kerucut Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elip...
Baca selengkapnya

BAB VI PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

Gambar
PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG  1. PERSAMAAN PARAMETRIK Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik.  Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t.  Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis: x = x (t)    y = y (t)   Kita telah lama terbiasa dengan kurva yang didenisikan oleh sebuah persamaan yang menghubungkan koordinat x dan y:  Contohnya persamaan eksplisit seperti y = x2 atau implisit seperti x2 + y2 = 13: Dalam geometri persamaan yang bergantung pada lokasi disebut persamaan ekstrinsik. Persamaan y = x2 disebut persamaan eksplisit karena y didenisikan sebagai fungsi dari x: Jadi, untuk menentukan (satu-satunya) titik pada kurva dengan x = 3; untuk tiap x; cukup substitusikan nilai x = 3 pada fungsi x2 untuk memperoleh y = 9: Maka diperoleh (3;9) berada pada parabola y = x2: Sedangkan, pada ...
Baca selengkapnya

BAB VII KOORDINAT KARTESIUS,VEKTOR,DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

Gambar
KOORDINAT KARTESIUS,VEKTOR DAN  PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI 1.Sistem Koordinat Dimensi Tiga Pada pembahasan yang telah kita lakukan, kita telah memahami dan belajar pada bidang datar yang dikenal sebagai bidang Euclides atau ruang dimensi dua hal ini telah diterapkan pada fungsi variable tunggal yaitu fungsi yang dapat digambarkan pada bidang datar.   Bagaimana jika fungsi yang akan kita pelajari adalah fungsi yang mempunyai variable ganda atau yang sering kita sebut dengan kalkulus peubah ganda, yaitu yang diterapkan pada suatu fungsi yang mempunyai dua peubah atau lebih.  Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbu- sumbu X , Y dan Z dengan titik Nol berada pada suatu titik O yang sama.disebut titik asal.  Sistem koordinat dimensi tiga dapat digambarkan seperti Gambar dibawah ini.   Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang yz , bidang xz dan bidang xy yang membagi ruang menjadi delapan o...
Baca selengkapnya