BAB VI PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

1. PERSAMAAN PARAMETRIK

Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t. Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis:

x = x (t)

y = y (t)

Kita telah lama terbiasa dengan kurva yang didenisikan oleh sebuah persamaan yang menghubungkan koordinat x dan y:

Contohnya persamaan eksplisit seperti y = x2 atau implisit seperti x2 + y2 = 13: Dalam geometri persamaan yang bergantung pada lokasi disebut persamaan ekstrinsik. Persamaan y = x2 disebut persamaan eksplisit karena y didenisikan sebagai fungsi dari x: Jadi, untuk menentukan (satu-satunya) titik pada kurva dengan x = 3; untuk tiap x; cukup substitusikan nilai x = 3 pada fungsi x2 untuk memperoleh y = 9: Maka diperoleh (3;9) berada pada parabola y = x2: Sedangkan, pada persamaan implisit, ketika nilai x = 3 disubstitusikan ke persamaan x2+y2 = 13; diperoleh 9+y2 = 13: Untuk memperolah nilai y kita harus menyelesaikan dulu persamaan tersebut, dan memperoleh y = 2: Maka titik (3;2) dan (3;2) berada pada lingkaran x2 +y2 = 13: Persamaan ini mendenisikan secara implisit y sebagai fungsi dari x; setelah diputuskan apakah y > 0 atau y < 0: Persamaan intrinsik sebuah kurva adalah persamaan yang mendenisikan kurva tersebut melalui hubun- gan antara sifat-sifat intrinsik kurva, yaitu sifat-sifat yang tak bergantung pada lokasi. Dengan demikian, persamaan intrinsik kurva mendenisikan kurva tersebut tidak menetapkan posisi titik relatif terhadap se- buah sistem koordi

nat. Umumnya persamaan intrinsik dikaitkan dengan sudut singgung ; waktu t; ke- lengkungan ; panjang kurva s; dan torsi : Besaran ini disebut parameter dari persamaan tersebut. Misalkan x dan y dinyatakan sebagai fungsi-fungsi dari parameter, misalnya t; oleh persamaan x = f (t); y = g (t); t 2 I = [a;b] disebut persamaan-persamaan parametrik.) Tiap nilai t menentukan titik (x;y) pada kurva. Jadi, dengan berubahnya nilai t; titik (x;y) = (f (t);g (t)) bergerak sepanjang kurva yang disebut kurva para- metrik.

Membuat Sketsa Kurva Persamaan parametrik

1. Gambarlah kurva persamaan parametrik: x = t, y = t2 untuk -4 ≤ t ≤ 4

Jawab:

a. Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Kemudian plot nilai-nilai x terhadap y, untuk mempermudah dapat menggunakan perangkat lunak.

2. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t untuk 0 ≤ t ≤ 2¶ Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y.

Dalam menyajikan data-data nilai t, buatlah selisih antara nilai t cukup kecil supaya diperoleh kurva yang smooth. Makin kecil, kurva makin smooth.

3. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = cos t dan y = 2 sin 2t untuk 0 ≤ t ≤ 2¶

Mengubah Persamaan Parametrik Menjadi Persamaan Kartesian

1. Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesian

a. x = t - 1, y = t2

b. x = 2cos t dan y = 2 sin t

Jawab :

Sumber,Kletenic, D., Problems in Analytic Geometry, Moscow: Peace Publisher, t.th.

12. Vektor Pada Bidang

Sebuah bidang di ruang ditentukan oleh sebuah titik P(x0, y0, z0) dan sebuah vektor n yang tegak lurus terhadap bidang itu (vektor normal).

Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang titik pada bidang, misalkan r0 dan r adalah vektor-vektor posisi dari P dan Q. Vektor r – r0 dinyatakan oleh PQ. Vektor normal n tegak lurus thd setiap vektor pada bidang, khususnya r – r0 sehingga:

Kecepatan sebuah mobil yang bergerak dapat dinyatakan oleh sepotong garis yang mempunyai arah. Panjang dari garis tersebut menunjukkan besar kecepatan mobil, dan arah panah dari garis tersebut menunjukkan arah gerak mobil.Kecepatan adalah salah satu contoh vektor dari banyak vektor yang terdapat di bidang Fisika. Contoh-contoh lain dari vektor adalah gaya, percepatan, momentum, dan sebagainya. Vektor adalah kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah. Maka suatu vektor dapat dinyatakan oleh segmen garis berarah PQ, ditulis :

Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama, akibatnya setiap vektor tidak berubah jika bergerak ke posisi baru dengan tidak mengubah besar dan arah. Suatu vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besaran nol, dan dapat dilukiskan oleh segmen garis terurai PP yaitu suatu titik tunggal yang arahnya tak tentu atau memiliki semua arah.

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Cara Jajaran Genjang

Penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan mengimpitkan kedua pangkal vektor tersebut, kemudian buat garis yang panjangnya masing-masing sama dengan panjang vektor semula sehingga membentuk jajaran genjang. Maka hasil dari penjumlahan kedua vektor tersebut adalah vektor yang pangkalnya pada titik pangkal kedua vektor tersebut dan ujungnya adalah pada perpotongan kedua garis tersebut, lihat gambar 1.

Cara Segitiga

Impitkan titik ujung vektor a dengan titik pangkal vektor b, maka vektor hasil penjumlahannya adalah vektor yang bertitik pangkal di a dan titik ujungnya di b, lihat gambar 2.

Lawan dari vektor a adalah vektor –a, yang mempunyai besar yang sama dengan a tapi berlawanan arah. Maka pengurangan vektor adalah dengan menjumlahkan dengan lawan vektor kedua, yaitu

a – b = a + (-b)

Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan

1. a + b = b + a

2. a + (b + c) = (a + b) + c

3. a + b = c jika dan hanya jika b = c – a

4. a + 0 = a, a – a = 0

5. k(sb) = (ks)b = b(ks)

6. k(a + b) = ka + kb

7. (k + s)a = ka + sa

8. 1a = a

Pendekatan Secara Aljabar

a. Besar Sebuah Vektor

Besar atau panjang dari sebuah vektor a ditulis | a | atau a. Panjang dari setiap vektor a dan b mempunyai sifat sebagai berikut:

1. | a | ≥ 0 ; | a | = 0 jika dan hanya jika a = 0.

2. |a + b| ≤ | a | + | b |

Maka hasil kali skalar dua vektor dapat ditulis dalam bentuk a . b = a kompa b atau a . b = b kompb a Pengertian komponen banyak digunakan dalam mekanika. Jika gaya F mempengaruhi sebuah benda bergerak dari A ke B sepanjang segmen AB, maka hanya komponen dari F pada AB yang bekerja. Maka kerja yang dilakukan sama dengan hasil perkalian komponen dan jarak yang dilalui.