BAB IV Elips, Parabola, Hiperbola

BAB IV

Elips, Parabola, Hiperbola

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak nol.

Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk kurva berderajat dua yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola:

Contoh kurva berderajat dua dari irisan sebuah kerucut

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik. Kedudukan titik-titik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap akan membentuk irisan kerucut (conic section).Tiap irisan kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus.Misalkan sebuah titik P bergerak terhadap sebuah garis tetap l, dan sebuah titik tetap F. Jarak P ke F dinyatakan oleh d dan jarak P ke l dinyatakan oleh d¢. Perbandingan jarak d dan d¢ disebut esentristitas yaitu e = d : d¢. Garis l disebut garis direktriks dan titik F disebut titik fokus. Nilai esentrisitas akan menentukan jenis irisan kerucut dengan interval nilai e meliputi e < 1, e = 1, dan e > 1.

Bangun Ruang Kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang datar.

Macam-macam Irisan Kerucut:

1. Parabola

2. Elips

3. Hiperbola

4. Lingkaran

Irisan kerucut (yang berbentuk parabola, elips, hiperbola) adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap.

Irisan kerucut juga dapat disebut Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi persamaan:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Sumber Smith, David E., & Latham, Martha L. (1957). The Geometry of Rene Descartes. New York : Dover Publications, Inc.

1. PARABOLA

A. Definisi Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik P sedemikian hingga jarak P dari suatu titik tertentu = jaraknya dari suatu garis tertentu.

1. Titik tertentu : focus

2 2. Garis tertentu : direktriks.

3 3. Garis yang tegak lurus pada direktriks dan melalui fokus : sumbu parabola.

4. Perpotongan antara sumbu dan para-bola : puncak parabola.

2. Persamaan Parabola Berpusat Di (0,0)

3. Persamaan Parabola Berpusat Di (a,b)

4. Garis Singgung Pada Parabola

a. kedudukan garis terhadap parabola

kedudukan garis terhadap parabola ada 3 kemungkinan yaitu:

1. Gambar (a) → Garis tidak memotong parabola
2. Gambar (b) → Garis memotong 1 titik di parabola
3. Gambar (c) → Garis memotong 2 titik di parabola
Cara menentukan hubungan garis dengan parabola:
Misal:
Garis g: y = mx + n    ……. (1)
Parbola: y2 = 4px     ..…… (2)
Subtitusi (1) ke (2) → P.K baru

Missal P.K Baru : ax2 + bx + c = 0 → D = b2 – 4.a.c dapat dinyatakan:
1. D < 0 → Garis tidak memotong parabola
2. D = 0 → Garis memotong 1 titik di parabola
3. D > 0 → Garis memotong 2 titik di parabola

b. Persamaan Garis Singgung Parabola
1) Menentukan P.G.S di titik P(x1,y1) pada parabola
- Parabola berpuncak di (0,0):

- Parabola berpuncak di (a,b):

2) Menentukan P.G.S di titik P(x1,y1) di luar parabola
Definisi:
Jika dari sebuah titik P(x1,y1) di luar parabola ditarik dua buah
garis singgung, maka garis penghubung p antara kedua titik
singgunya disebut garis polar p terhadap parabola dan P disebut titik
polar garis p.
- Parabola berpuncak di (0,0):

- Parabola berpuncak di (a,b):

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4x dari titik P(-1,0)
Jawab:

3) Menentukan P.G.S parabola dengan gradien tertentu (m)
- Parabola berpuncak di (0,0):

- Parabola berpuncak di (a,b):

2. ELIPS
1. Definisi Elips
Elips adalah himpunan semua titik dimana jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.

Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api (F1 dan F2). Jumlah jarak tetap = 2a (a>0) dan jarak F1 dan F2 adalah 𝐹1𝐹2 = 2c

2. Persamaan Elips
a. Berpusat di O(0,0)

b. Berpusat di M(p,q)

Contoh:

3. Bentuk Umum Elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum: Ax2 + By2 +Cx + Dy + E = 0 Dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A≠0, B≠0, Tanda A dan B sama, yang diperoleh dari persamaan elips.

4. Persamaan Garis Singgung Elips
a. Hubungan Garis dan Elips
Kedudukan garis terhadap Elips ada 3 kemungkinan, yaitu:

1. Gambar (a) → Garis memotong 2 titik di elips
2. Gambar (b) → Garis memotong 1 titik di elips
3. Gambar (c) → Garis tidak memotong elips

Cara menentukan hubungan garis dengan elips:
Misal:
Garis: y = ax + b    ……. (1)
Elips:   Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0   ..…… (2)
Subtitusi (1) ke (2) → P.K baru
Misal P.K Baru : ax2 + bx + c = 0 → D = b2 – 4.a.c dapat dinyatakan:
1. D < 0 → Garis tidak memotong Elips
2. D = 0 → Garis memotong 1 titik di Elips
3. D > 0 → Garis memotong 2 titik di Elips

b. Menentukan P.G.S pada Elips di suatu Titik pada Elips

c. Menentukan P.G.S pada elips dengan gradien tertentu

3. HIPERBOLA
1. Pengertian hiperbola
Hiperbola adalah himpunan semua titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu sama. Kedua titik tertentu itu disebut fokus (titik api) hiperbola, selisih jarak yang sama = 2a (a>0), dan jarak kedua fokus = 2c dengan 2c > 2a.

2. Persamaan Hiperbola Berpusat di O(0,0)

3. Persamaan Hiperbola Berpusat di (p,q)

4. Bentuk Umum Persamaan Hiperbola
Bentuk umum persamaan hiperbola adalah: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0,
dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A ≠ 0, B ≠ 0, dan A ≠ B

5. Asimtot Pada Hiperbola
Asimtot suatu garis lengkung adalah sebuah garis lurus yang makin
lama makin didekati oleh garis lengkung itu tetapi tidak pernah
berpotongan.