BAB V KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

Sebuah titik P (selain titik kutub/titik asal) dinyatakan kedudukan oleh titik O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub. Apabila r adalah jarak antara titik O dan titik P; sedangkan 𝞱 adalah salah satu sudut antara OP dan sumbu kutub, maka (r , 𝞱) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P dan ditulis P(r , 𝞱)Selanjutnya r disebut jari-jari penunjuk dari P atau radius vektor dari P, sedangkan 𝞱 disebut argumen dari P atau sudut kutub dari P. 

11.  Sistem Koordinat Kutub

      Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telah memperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan system koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 1). Sistem koordinat ini adalah dasar dari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini. 

     Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satu- satumya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain adalah menggunakan apa yang disebut koordinat kutub. 

 

 

                  Gambar 1.                                                                                Gambar 2

Sumber Moeharti Hadiwidjojo, Ilmu Ukur Analitik Bidang, Yogyakarta: FPMIPA-IKIP Yogyakarta, 1974.

1 

   2.Koordinat Kutub

     Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah system koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik P (Gambar 2). Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaran- lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapat melihatnya pada Gambar 3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.  

 

 

                         Gambar 3.                                                                          Gambar 4.

Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa sudut-sudut θ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik dengan koordinat kutub (4, π/2) juga memiliki koordinat (4, 5π/2), (4, 9π/2), (-4, 3π/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai yang negatif. Dalam hal ini (r, θ) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak r satuan dari titik asal. Dengan demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, π/6) dapat kita lihat pada Gambar 4.4, sedangkan (-4, 3π/2) adalah koordinat lain untuk (4, π/2). Titik asal mempunyai koordinat (0, θ), di mana θ sudut sembarang.

Sumber, Purcell, Edwin J (Penterjemah: Rawuh, Bana Kartasasmita), Kalkulus Dan Geometri Analitis Jilid I, Jakarta: Erlangga, 1984.

3.Persamaan Kutub 
 

Seperti halnya dengan system koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkan grafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalah dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengan koordinat-koordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itu dengan sebuah kurva yang mulus. 

Contoh 1: Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin θ 

Penyelesaian :

Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali.

  

 

Sumber, Purcell, Edwin J (Penterjemah: Rawuh, Bana Kartasasmita), Kalkulus Dan Geometri Analitis Jilid I, Jakarta: Erlangga, 1984.

4.Hubungan Dengan Koordinat Cartesius

Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius. Maka koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan :

x  =  r cos θ       r²  =  x2 + y2

 y  =  r sin θ      tan θ = x y

Hubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran pertama, yang dapat kita lihat pada Gambar 7. mudah dibuktikan untuk titik-titik dalam kuadran lain. 

        

                                       Gambar 5                                                                   Gambar 6

Contoh :

Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π/6). Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah (-3, 3).
penyelesaian:

 

  

a    Salah satu nilai (r, θ) adalah (2 3, 5π/6). Nilai lainnya adalah (-2 3, -π/6). Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya dalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini. 

     

     Sumber, Thomas, George B., JR., Calculus and Analytic Geometry, Japan Publications Trading Company, Ltd, 1963. 

 

  5.Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Konik

      Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah θ = θ0. Apabila garis tidak melalui kutub, maka garistersebut berjarak misalnya d dari kutub (d>0). Andaikan θ0 sudut antara sumbu kutub dan garis tegak lurus dari kutub pada garis itu (Gambar 7). Apabila P (r, θ) sebuah titik pada garis, maka cos (θ - θ0) = d/r, atau  

      Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di kutub, pesamaannya adalah r = a. Apabila pusatnya di (r0, θ0), persamaannya agak rumit, kecuali kalau kita pilih r0 = a (Gambar 7.10). Maka menurut hukum kosinus, a2 = r2 + a2 – 2ra cos (θ - θ0) yang dapat disederhanakan

      menjadi :

      Lingkaran : r  =  2a cos (θ - θ0)  

 

                                           Gambar 7.                                                                         Gambar 8.

      Suatu hal yang menarik jika θ0 = 0 dan θ0 = π/2. Yang pertama menghasilkan persamaan r = 2a cos θ ; yang kedua menghasilkan r = 2a cos (θ – π/2) atau r = 2a sin θ. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan Contoh 1. 

      Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol atau hiperbol) diletakkan sedemikian hingga fokusnya berada di kutub, garis arahnya berjarak d satuan dari kutub (Gambar 7.11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu│ PF│=  e│PL│  kita akan memperoleh:

 

    Contoh:

      Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan 1/2, berfokus di kutub dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan disebelah kanan kutub.

      Sumber, Moeharti Hadiwidjojo, Ilmu Ukur Analitik Bidang, Yogyakarta: FPMIPA-IKIP Yogyakarta, 1974.

 

  6. Grafik Persamaan Kutub

     Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkaran dan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkan dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapat melihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untuk memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.  Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan.

1)      Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan perpanjangannya ke kiri) apabila θ diganti dengan –θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 9).

2)      Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis θ = π/2) apabila θ diganti dengan π-θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 10).  

3)      Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti –r menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 11). 

      Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.  

 

 

 

                               Gambar 9                                   Gambar 10                                     Gambar 11    

     

      Sumber, Purcell, Edwin J (Penterjemah: Rawuh, Bana Kartasasmita), Kalkulus Dan Geometri Analitis Jilid I, Jakarta: Erlangga, 1984.

 

   7. Perpotongan Kurva-kurva Dengan Koordinat Kutub

      Dalam koordinat Cartesius, semua titik potong dua kurva dapat dicari dengan jalan menyelesaikan persamaan kurva bersama-sama. Hal ini tidak selalu mungkin jika kita menggunakan koordinat kutub. Ini disebabkan sebuah titik P memiliki banyak koordinat kutub, dan 

Gambar 12

 

     Satu pasang dapat memenuhi persamaan polar dari kurva yang lain. Misalnya (lihat Gambar 4.21), lingkaran r =  4 cosπ memotong garis θ = π/3 di dua titik, yaitu kutub dan (2, π/3). Tetapi harga pasangan terakhir inilah yang memenuhi kedua.

     persamaan tersebut. Ini disebabkan koordinat kutub yang memenuhi persamaan garis adalah (0, π/3) dan yang memenuhi persamaan lingkaran adalah (0, π/2).

 

      Kesimpulan kita adalah sebagai berikut: Untuk dapat memperoleh semua perpotongan dua kurva dengan koordinat kutub, selesaikanlah persamaan- persamaan bersama-sama; kemudian gambarlah grafiknya secara seksama untuk memperoleh titik potong lain yang masih mungkin. 

                           Gambar 13                                                                          Gambar 14.

     

      Sumber, Thomas, George B., JR., Calculus and Analytic Geometry, Japan Publications Trading Company, Ltd, 1963.