BAB VII KOORDINAT KARTESIUS,VEKTOR,DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

KOORDINAT KARTESIUS,VEKTOR DAN

 PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

1.Sistem Koordinat Dimensi Tiga

Pada pembahasan yang telah kita lakukan, kita telah memahami dan belajar pada bidang datar yang dikenal sebagai bidang Euclides atau ruang dimensi dua hal ini telah diterapkan pada fungsi variable tunggal yaitu fungsi yang dapat digambarkan pada bidang datar.  
Bagaimana jika fungsi yang akan kita pelajari adalah fungsi yang mempunyai variable ganda atau yang sering kita sebut dengan kalkulus peubah ganda, yaitu yang diterapkan pada suatu fungsi yang mempunyai dua peubah atau lebih. 
Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbu- sumbu X , Y dan Z dengan titik Nol berada pada suatu titik O yang sama.disebut titik asal.  Sistem koordinat dimensi tiga dapat digambarkan seperti Gambar dibawah ini.

 

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang yz , bidang xz dan bidang xy yang membagi ruang menjadi delapan oktan, Jika titik P dalam ruang, maka koordinat kartesiusnya dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu , P (x,y,z).

Dalam sistem koordinat dimensi tiga terbagi atas tiga bidang, yaitu :

 1. bidang yz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-x 

 2. bidang xz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-y 

 3. bidang xy yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-z  

Koordinat Cartesius:

a.Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu x, sumbu y dan sumbvu z);
b.Titik nol ketiga garis berada pada titik O yang sama yang disebut titik asal (origin);
c.Sumbu y dan sumbu z terletak pada bidang kertas dengan arah positifnya masing-masing ke kanan   dan ke atas;
d.Sumbu x tegak lurus terhadap kertas dengan arah ujung positifnya menuju kerah kita;
e.Membentuk sebuah sistem tangan kanan (right-handed system) karena jika jari-jari tangan kanan dikepalkan, jari-jari tangan tersebut membentuk kurva dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif maka jari jempol akan mengarah ke sumbu z positif.

f.Ketiga sumbu membentuk tiga bidang: bidang xy, bidang xz dan bidang yz;

g.Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan;
h.Setiap tiitik P di dalam ruang mempunyai tiga bilangan berurutan (x,y,z) yang disebut koordinat Cartesius (Cartesian coordinate);
i.Koordinat kartesius merupakan ukuran jarak berarah dari ketiga bidang tersebut;

Sumber,Moeharti Hadiwidjojo, Vektor dan Transformasi dalam Geometri, Yagyakarta:    FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1989.  

Jarak Dua Titik

Contoh:

 penyelesaian:

2.Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

 Sumber,Moeharti Hadiwidjojo, Vektor dan Transformasi dalam Geometri, Yagyakarta:    FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1989. 

3.Kosinus Arah suatu Vektor

 

Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut yang dibentuk dengan ketiga sumbu kerangka acuan. Kita dapat teruskan pembicaraan tentang sudut – sudut arah dan kosinus – kosinus arah sebuah vektor dengan sudut arah dan kosinus arah sebuah garis lurus. Di sini sudut – sudut arah dan kosinus – kosinus arah sebuah garis lurus adalah nama dengan sudut – sudut arah dan kosinus – kosinus arah yang dibawanya (vektor arahnya).

Contoh:

Sudut – sudut arah dari suatu vector  v  = {x , y , z} yaitu α , β , γ adalah sudut antara v dengan i , j , k. Sedangkan cos α , cos β , cos γ  disebut cosinus – cosinus arah dari v. Berikut dibawah ini adalah contoh gambar sebuah vektor.

Sumber,Moeharti Hadiwidjojo, Vektor dan Transformasi dalam Geometri, Yagyakarta:    FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1989.

4. Hasil Kali Silang Dua Vektor

Sangat penting untuk mengingat bahwa definisi ini hanya berlaku pada vektor-vektor tiga   dimensi. Hasil kali silang tidak didefinisikan untuk vektor-vektor dua dimensi.
Cara yang mudah untuk menghitung u × v adalah menggunakan bentuk determinan dengan    ekspansi kofaktor seperti yang ditunjukkan di bawah. (Bentuk determinan 3 × 3 ini digunakan untuk membantu mengingat rumus hasil kali silang—akan tetapi secara teknis bentuk tersebut bukanlah determinan karena tidak semua elemen matriks tersebut adalah bilangan real.)



Sumber,Moeharti Hadiwidjojo, Vektor dan Transformasi dalam Geometri, Yagyakarta:    FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1989. 

5. Persamaan Bidang Datar  
Grafik dalam ruang dimensi tiga pada prinsipnya sama dengan grafik pada bidang dimensi dua, jika pada dimensi dua berupa garis, maka pada dimensi tiga akan berupa bidang, demikian juga jika pada dimensi dua berupa bidang, maka jika digambar pada dimensi tiga akan berupa ruang. Persamaan linier pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah bidang, secara umum persamaan linier dalam ruang dimensi tiga dirumuskan sebagai berikut :  

 
 

jika suatu bidang S memotong ke tiga sumbu koordinat yaitu sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, maka untuk menggambar grafiknya kita tentukan titik potong pada ketiga sumbu tersebut, yaitu titik potong sumbu-x yaitu,P(x,0,0) titik potong sumbu-y yaitu Q (0,y,0).

dan titik potong sumbu-z yaitu R (0,0,z) untuk menentukan nilai y,x ,dan z sebagai berikut :   
a.Untuk menentukan nilai x, maka kita beri nilai y =0  dan z =0
b.Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nila x =0 dan z =0
c.Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai x =0 dan y =0
Sehingga akan diperoleh ketiga titik potong yaitu P (x,0,0) , Q (0,y,0) dan R (0,0,z) 

Contoh:
Gambarkan grafik dari persamaan 3x + 4y +2z = 12
Penyelesaian:
 Untuk menentukan ke tiga titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai - nilai x,y dan z, yaitu:

Sumber,Moeharti Hadiwidjojo, Ilmu Ukur Analitik Bidang Bagian III, Yagyakarta: FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1994.

6.Menggambar Sebuah Persamaan Pada Sistem Koordinat Kartesius Ruang Dimensi Tiga 
Sama halnya dengan menggambar persamaan di bidang dimensi dua, pada ruang dimensi tiga ini saat kita akan menggambar dari suatu persamaan yang diketahui maka kita cari terlebih dahulu titik potong dari ketiga sumbu Dimana untuk titik potong di sumbu x maka y = z = 0, untuk titik potong si sumbu y maka x = z = 0 dan untuk titik potong di sumbu z maka x = y = 0.
Sebagai contoh misalnya diketahui sebuah persamaan yaitu x + 2y + z = 4. Maka pertama kita harus mencari titik-titik potongnya dahulu yaitu :

1.    Titik potong di sumbu x maka y = z = 0, sehingga :

x + 2y + z = 4

x + 2(0) + 0 = 4

x = 4

Maka titik potong di sumbu x adalah (4,0,0)

2.    Titik potong di sumbu y maka x = z = 0, sehingga :

x + 2y + z = 4

0 + 2y + 0 = 4

2y = 4

y =2

Maka titik potong di sumbu x adalah (0,2,0)

3.    Titik potong di sumbu z maka x = y = 0, sehingga :

x + 2y + z = 4

0 + 2(0) + z = 4

z = 4

Maka titik potong di sumbu x adalah (0,0,4)

Setelah kita dapat titik-titik potongnya maka kita dapat langsung menentukan letak dari titik-titik potong tersebut. Dan dengan bantuan geogebra didapatlah gambar dari persamaan x + 2y + z = 4 adalah sebagai berikut :

 
TUGAS

Apakah terdapat titik potong pada persamaan berikut :

x + 2z = 6

x – 2y + 2z = 4

Bidang P (1,2,3) tegak lurus vektor n =<3,2,1>

Penyelesaian :

x + 2z = 6

Titik potong terhadap sumbu-x maka z = 0

x = 6

Sehingga diperoleh titik (6,0,0)

Titik potong terhadap sumbu-z maka x = 0

2z = 6

z = 3

Sehingga diperoleh titik (0,0,3)

Gambarnya berbentuk seperti ini:

 

 

 

 

x-2y+2z=4

Titik potong terhadap sumb-x maka y = z = 0

x = 4

Sehingga diperoleh titik (4,0,0)

Titik potong terhadap sumbu-y maka x = z = 0

-2y = 4

y    = -2

Sehingga diperoleh titik (0,-2,0)

Titik potong terhadap sumbu-z maka x = y = 0

2z = 4

z   = 2

Sehingga diperoleh titik (0,0,2)

Gambarnya berbentuk seperti ini:

 

THANK YOUUUUUUUUUUUUUU 😊