BAB II GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

BAB II

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

A. Kurva

Kurva atau disebut juga dengan lengkungan adalah bentuk geometri satu dimensi yang dapat terletak pada bidang atau ruang. Kurva yang terletak pada bidang didefinisikan sebagai hasil goresan alat tulis yang meninggalkan bekas pada bidang tulis dengan tanpa mengangkat. Ketika alat tulis yang digoreskan pada bidang tulis tidak diangkat maka akan dihasilkan goresan yang kontinu (tidak terputus) dan gambar itulah yang dimaksud dengan kurva atau lengkungan.Tetapi ketika goresan pada bidang tulis diangkat dan kemudian dilanjutkan sehingga menjadi goresan yang tidak kontinu (terputus) maka gambar yang diperoleh adalah bukan kurva.

B. Jenis-Jenis Kurva

Kurva atau lengkungan yang terletak pada bidang dapat diklasifikasikan menjadi empat jenis. Kurva terbuka sederhana, kurva terbuka tidak sederhana, kurva tertutup sederhana, dan kurva tertutup tidak sederhana. Kurva terbuka sederhana adalah lengkungan yang titik berangkat/awalnya tidak berimpit dengan titik akhirnya dan tidak terdapat titik potong pada dirinya. Kurva terbuka tidak sederhana adalah lengkungan yang titik berangkatnya/awal tidak berimpit dengan titik akhirnya dan ada titik potong dalam dirinya. Kurva tertutup sederhana adalah lengkungan yang titik berangkatnya/awal berimpit dengan titik akhirnya dan tidak ada titik potong pada dirinya. Apabila sebuah kurva tertutup sederhana terletak pada bidang kurva tersebut membagi bidang menjadi tiga himpunan titik yang saling lepas. Pertama himpunan titik di dalam kurva, kedua himpunan titik di luar kurva,dan ketiga himpunan titik pada kurva. Kurva tertutup tidak sederhana adalah lengkungan yang titik berangkatnya saling berimpit dengan titik akhirnya dan ada titik potongpada dirinya. Kurva tertutup tidak sederhana pada bidang minimal membagi himpunan titik pada bidang menjadi empat himpunan titik saling lepas. Di bawah ini adalah gambar empat jenis kurva tersebut.

Gambar 1. Jenis-jenis kurva

Gambar (i) adalah kurva terbuka sederhana, gambar (ii) adalah kurva terbuka tidak

sederhana, gambar (iii) adalah kurva tertutup sederhana, dan gambar (iv) adalah kurva tertutup tidak sederhana.

Sumber Clemens, Stanley, R.; O'Daffer, Phares ; Cooney, Thomas, J. (19994). Geometry. Canada: Publishing Addison/Wesley.

2.1 Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya.Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riilSebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva.

Garis melalui A(1, 2) → A(1) + B(2) + C = 0 → A + 2B + C = 0 ------------- pers. 1 Garis melalui B(-3, 4) → A(3) + B(-4) + C = 0 → -3A + 4B + C = 0 ---------- pers. 2 Garis melalui C(5, 0) → A(5) + B(0) + C = 0 → 5A + C = 0 -------------------- pers. 3

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel

𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = 0

-3𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 0

5𝐴 + 𝐶 = 0

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu : A = 1, B = 2 dan C = -5 Maka

persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0 Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di bawah ini.

Garis x + 2y - 5 = 0 seperti ditunjukkan pada gambar di atas membentuk sudut terhadap sumbu x positif. Besarnya sudut yang terbentuk tersebut akan mempengaruhi kemiringan garis. Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan oleh sudut α. Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

Gambar 2 sudut inklinasi Garis

Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar sebuah garis berikut. Garis tersebut melalui dua titik yaitu P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Sudut yang dibentuk garis P1P2 adalah α. Pada gambar terlihat sebuah segitiga siku- siku dengan hipotenusa P1P2, panjang sisi alas x2 - x1 dan panjang sisi tegak y2 - y1. Nilai tangent sudut α dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan :

Gambar 3 Gradien suatu Garis

Jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Contoh 2

Persamaan kurva berderajat satu pada contoh 5 dapat diubah menjadi persamaan garis bergradien dengan langkah sebagai berikut.

maka gradien garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) adalah m = - ½ yaitu bergradien negatif. Sudut inklinasi yang dibentuk garis tersebut yaitu :

Pertanyaan 3 - 1 : Deskripsikan bentuk masing-masing garis berdasarkan gradien dan sudut inklinasi yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 4. Berbagai bentuk garis dengan gradien dan sudut berbeda

Penyelesaian :

Diketahui : Empat garis berbeda p = AB, q = AC, r = BC, dan s = BD

Ditanyakan : Bentuk garis p, q, r dan s berdasarkan gradien dan sudut inklinasi … ?

Identifikasi masalah : Tiap garis melalui paling sedikit dua titik berbeda. Jika diketahui koordinat kedua titik yang dilalui garis maka dapat ditentukan persamaan garis bergradien dengan menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel. Atau dapat menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku untuk menentukan gradien suatu garis. Sebagai contoh garis p = AB melalui titik A(1, 1) dan B(5, 4).

Ruas garis

AB merupakan hipotenusa dari segitiga siku-siku ADB. Kemiringan garis AB membentuk sudut

BAD sehingga kemiringan garis dapat ditentukan dari nilai tangen ukuran sudut BAD.

Sudut inklanasi garis ditentukan dengan mencari nilai arc tan dari gradien.

Langkah penyelesaian :

Cara 1 : Metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) untuk garis r = BC yang melalui titik B(5, 4) dan C(7, 1)

Langkah 1 : Substitusi koordinat titik-titik ke dalam persamaan garis y = mx + c

Garis melalui titik B → 4 = 5m + c

Garis melalui titik C → 1 = 7m + c

Langkah 3 : Substitusi nilai m dan c ke dalam persamaan garis y = mx + c

Persamaan garis yaitu 𝑦 = -

Cara 2 : Metode pencarian nilai tangen sudut yang dibentuk hipotenusa segitiga siku-siku untuk garis r = BC yang melalui titik B(5, 4) dan C(7, 1)

Langkah 1 : Membuat segitiga siku-siku dengan hipotenusa adalah ruas garis dari dua titik pada garis Segitiga siku-siku yang dapat dibuat dengan hipotenusa BC ̅̅̅̅ yaitu segitiga BDC.

Langkah 2 : Menentukan panjang sisi alas dan sisi tegak segitiga Sisi alas segitiga BDC adalah 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ dan sisi tegak segitiga BDC adalah 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ . Panjang masing-masing ruas garis dicari dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik.

Langkah 3 : Menentukan nilai tangen sudut yang dibentuk oleh hipotenusa segitiga siku- siku

Langkah 4 : Menentukan besar sudut inklinasi Sudut inklinasi garis r = BC yaitu :

Langkah 5 : Deskripsi bentuk garis berdasarkan gradient dan sudut inklinasi

Tabel 1. Hubungan antara gradien, sudut inklinasi, dan bentuk garis

Pertanyaan 3 - 2 : Gambarkan dan tentukan persamaan garis-garis yang masing-masing memiliki gradien m = 1 dan melalui salah satu titik berikut. Garis h melalui titik O(0,0), garis k melalui titik K(2, 3) dan garis l melalui titik L(-2, -3).

Penyelesaian :

Diketahui : Tiga garis h, k dan l masing-masing bergradien mh = mk = ml = 1. Tiga titik O(0, 0), K(2, 3), dan L(-2, -3) masing-masing dilalui garis h, k, atau l.

Ditanyakan : Gambar dan persamaan garis h, k dan l … ?

Identifikasi masalah : Jika diketahui gradien garis dan sebuah titik yang dilalui garis tersebut maka persamaan garis dapat ditentukan dengan cara mensubtitusikan nilai gradien dan koordinat titik ke dalam persamaan garis bergradien m yaitu y = mx + c. Misalkan garis memiliki gradien m dan melalui titik (x0, y0) maka diperoleh persamaan : y0 = m x0 + c selanjutnya dapat diselesaikan dengan tahapan berikut :

Persamaan yang diperoleh dinamakan persamaan garis bergradien m dan melalui sebuah titik (x0, y0). Untuk dapat menggambarkan garis maka perlu ditentukan sudut inklinasi garis tersebut dengan menggunakan rumus α = arc tan m.

Langkah penyelesaian :

Langkah 1 :

Substitusi koordinat titik dan gradien ke persamaan garis y - y0 = m(x - x0).

Persamaan garis h dengan mh = 1 dan melalui O(0, 0) yaitu y - 0 = 1(x - 0) → y = x

Persamaan garis k dengan mk = 1 dan melalui K(2, 3) yaitu y - 3 = 1(x - 2) → y = x +1.

Persamaan garis l dengan ml = 1 dan melalui L(-2, -3) yaitu y + 3 = 1(x + 2) → y = x -1

Langkah 2 :

Menentukan sudut inklinasi garis Karena gradien ketiga garis sama yaitu mh = mk = ml = 1 maka sudut inklinasi garis h, k dan l yaitu 𝛼ℎ = 𝛼𝑘 = 𝛼𝑙 = 𝑎𝑟𝑐tan1 ≈ 0,7854 𝑟𝑎𝑑 = 45°

Langkah 3 :

Menggambar garis berdasarkan gradien dan sebuah titik

1) Buatlah titik-titik yang dilalui garis pada sistem koordinat Cartesius.

2) Buatlah sinar-sinar yang sejajar sumbu x dari masing-masing titik

3) Buatlah sinar kedua dari masing-masing titik sehingga membentuk sudut 45º terhadap sinar

pertama lalu perpanjang sinar kedua sehingga membentuk garis.

Gambar garis di atas menunjukkan bahwa garis k dapat diperoleh dengan menggeser garis h sejauh satu satuan ke kanan sedangkan garis l diperoleh dengan menggeser garis h sejauh satu satuan ke kiri. Jadi, konstanta c pada persamaan garis y = mx + c menjadi konstanta translasi (pergeseran) garis y = mx. Gambar tersebut juga menunjukkan bahwa ketiga garis h, k dan l yang memiliki gradien mh = mk = ml merupakan garis- garis yang saling sejajar satu sama lain.

Sumber Smith, David E., & Latham, Martha L. (1957). The Geometry of Rene Descartes. New York : Dover Publications, Inc.

2.2 Sifat-sifat Garis dalam Bidang Kesejajaran dan Perpotongan

Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis- garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar. Perhatikan bentuk garis-garis pada gambar berikut.

Gambar 5. Garis-garis yang memotong sumbu koordinat Cartesius

Gambar di atas memperlihatkan bahwa garis-garis bergradien positif atau negatif memotong sumbu x dan sumbu y masing-masing di satu titik. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan garis. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu y ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan garis. Sedangkan garis sejajar sumbu x hanya memotong sumbu y dan tidak memotong sumbu x. Garis sejajar sumbu y hanya memotong sumbu x dan tidak memotong sumbu y.Tabel berikut meringkas hubungan persamaan garis dan titik-titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y.

Tabel 2. Hubungan persamaan garis dan koordinat-koordinat titik potong garis terhadap sumbu koordinat Cartesius

Pertanyaan 3 - 3 : Tentukan persamaan garis jika diketahui titik potong garis dengan sumbu koordinat Cartesius yaitu (a, 0) dan (0, b).
Diketahui : Sebuah garis yang memotong sumbu x di (a, 0) dan sumbu y di (0, b) Ditanyakan : Persamaan garis … ?

Identifikasi masalah : Misalkan persamaan garis y = mx + c melalui (a, 0) dan (0, b). Maka substitusi koordinat titik ke dalam persamaan menghasilkan : am + c = 0 dan b = c sehingga diperoleh am + b = 0 dan gradient garis 𝑚 = -

. Jadi persamaan garis yang melalui titik (a, 0) dan (0, b) yaitu :

Pertanyaan 3 - 5 : Selidikilah sudut-sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan yaitu y = 2x + 1 dan y = - x + 2

Penyelesaian :

Diketahui : Dua garis berpotongan yaitu garis y = 2x + 1 dan y = -x + 2 Ditanyakan : sifat sudut-sudut yang dibentuk kedua garis … ?

Identifikasi masalah : Garis y = 2x + 1 memiliki gradien m1 = 2 dan garis y = -x + 2 memiliki gradien m2 = -1. Perlu dibuktikan bahwa kedua garis berpotongan dengan cara menentukan titik potong keduanya sebagai berikut : substitusi y = 2x + 1 ke y = - x + 2 sehingga diperoleh 2x + 1 = -x + 2 → 3x = 1 → x = 1/3 maka y = -1/3 + 2 = 5/3. Jadi garis y = 2x + 1 dan y = - x + 2 berpotongan di titik A (1/3 , -5/3). Titik ini menjadi titik pangkal sudut-sudut yang dibentuk kedua garis. Untuk menyelidiki sifat sudut-sudut tersebut perlu dibuat grafik kedua garis, lalu gunakan sudut inklinasi tiap garis dengan dibantu prinsip trigonometri.

Langkah penyelesaian :

Langkah 1 : Menggambar grafik fungsi kedua garis pada sistem koordinat Cartesius dan menganalisis sudut-sudut yang terbentuk.

Gambar di bawah ini memperlihatkan bahwa terdapat empat (4) sudut yang terbentuk dari dua garis yang saling berpotongan. Keempat sudut tersebut adalah sudut BAC, sudut CAD,sudut DAE, dan sudut EAB. Hubungan keempat sudut tersebut sebagai berikut :

Langkah 3 : Substitusi gradien tiap garis ke persamaan sudut antara dua garis berpotongan

Teorema-teorema tentang garis sebagai persamaan kurva berderajat satu sebagai berikut.

Pertanyaan 3 - 4 :

Perhatikan gambar garis-garis berikut. Deskripsikan hubungan garis-garis tersebut berdasarkan gradien dan sudut yang dibentuk antara dua garis. Garis AB melalui A(-1, 5) dan B(4, -1). Garis AC melalui A dan C(4, 3). Garis CD melalui C dan D(9, -3). Garis CE melalui C dan E(-2, -2).

Penyelesaian :

Diketahui : Empat buah garis AB, AC, CD dan CE. Garis-garis yang saling berpotongan yaitu AB dan AC di A, AC dan CD di C, CD dan CD di C, serta AB dan CE berpotongan di titik F yang belum diketahui koordinatnya. Garis-garis yang sejajar yaitu AB // CD

Ditanyakan : hubungan garis-garis berdasarkan gradien dan sudut yang dibentuk antara dua garis...?