BAB 1 TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT

BAB I

TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT

A.   Diagram Kartesius

 

 

 

Gambar 1.1 

Dalam matematika, sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilanganyang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut. Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z). Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan Aljabar dan geometri (Cartesius adalah Latinisasi untuk Descartes).Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0.

Sistem Koordinat Kartesius terdiri atas sumbu mendatar (sumbu x) dan sumbu tegak (sumbu y). Fungsi kedua sumbu tersebut adalah untuk menentukan letak suatu titik. Titik-titik pada koordinat Kartesius merupakan pasangan titik pada sumbu x dan sumbu y (x, y). Di mana x disebut absis dan y disebut ordinat. Perpotongan antara sumbu x dan sumbu y di titik 0 (nol) disebut pusat koordinat. Garis yang mendatar dinamakan sumbu x, dan garis yang tegak diberi nama sumbu y. Dua sumbu yang saling tegak lurus itu dinamakan sistem koordinat Kartesius tegak lurus atau cukup disebut koordinat Kartesius.  

Sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x dan sumbu y, membagi bidang datar menjadi 4 daerah yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III,kuadran IV seperti Nampak pada gambar dibawah ini.  

        

   

Gambar 1.2 

           Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, maka R²= R x R = {(x,y) x Є R, y Є R, yaitu semua himpunan pasangan  terurut yang bilangan tempat pertama dan bilangan tempat kedua masing-masing bilangan real. Setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai suatu titik pada garis bilangan. Atau dengan kata lain ada pemadanan (korespodensi) satu-satu antara himpunan semua bilangan dengan himpunan semua titik pada garis lurus. Apabila sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x dan sumbu y dipandang sebagai garis bilangan, maka setiap titik pada bilangan datar dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan-bilangan real. Atau dapat dikatakan bahwa suatu sistem koordinat kartesian pada bidang meletakkan pemadanan (korespondensi) satu-satu antara titik-titik pada bidang dan pasangan-pasangan bilangan terurut dari R². Ini berarti setiap titik pada bidang dapat dikaitkan dengan suatu pasangan bilangan real terurut yang menyatakan koordinat-koordinat  titik tersebut.

 (  Sumber Geometri Analitik Bidang Dan Ruang,Drs. Sukirman, M.Pd.)

Tiga unsur dasar dalam geometri, yaitu titik, garis, dan bidang. Ketiga unsur tersebut, dapat juga disebut sebagai tiga unsur yang tak didefinisikan. 

1. Titik

Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh lokasi/letaknya, tidak mempunyai ukuran (panjang, lebar, dan tinggi). Sebuah titik merupakan titik terkecil yang bisa digambar. Titik merupakan sebuah ide atau abstraksi. Karena titik tidak dapat didefinisikan dengan istilah sederhana, maka sebuah titik digambarkan menggunakan noktah dan ditulis menggunakan huruf kapital seperti P, Q, M, N, atau O.

Titik merupakan komponen bangun ruang yang tidak berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Suatu titik digambarkan atau dimodelkan sebagai noktah dan penamaannya menggunakan huruf besar. 

Contoh :  Titik A→ . A 

Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Point : location, no lenght, width or height. A point as a part of a  a physical object. A point as the smallest dot you can draw. A point is an idea, or abstraction. Since a point cannot be defined using simpler terms, it is an

undefined term.

  

2. Garis

Sebuah garis mempunyai panjang tak terbatas, lurus, tidak tebal, tidak ada titik akhir. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat gambar, sebuah garis hanya dilukiskan sebagian saja/sangat tipis. Bagian ini disebut wakil garis. Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetapi

tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan sebuah gagasan atau abstraksi. Karena titik tidak dapat didefinisikan dengan istilah sederhana, maka nama sebuah garis dapat dinyatakan dengan menyebutkan wakil dari garis tersebut menggunakan huruf kecil: l, g, k atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung.  

Garis merupakan komponen bangun ruang yang hanya mempunyai ukuran panjang, Garis dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik.

Selain itu untuk memberi nama sebuah garis, dapat memanfaatkan dua buah titik pada garis

tersebut, atau dengan sebuah huruf kecil.

 Cara menuliskannya: 

 ↔   ↔   ↔    ↔    ↔  

 C ,   AB,  BC,  AC,  AB atau g. 

Misalnya seperti gambar berikut: 

                                                                                                ↔          ↔      

Pada gambar di atas garis g dapat dinyatakan sebagai garis C ,A_α t ,_αBuA ,

↔       ↔    ↔                                                                                                      ↔

B C , A C ,A B, karena garis g melalui titik A, titik B, dan titik C. Lambang “ A B  ,” artinya garis 

                                                                                                                                             ↔

yang melalui titik A dan titik B, atau garis yang memuat titik A dan titik B. Lambang “ A C ” artinya 

                                                                                                                                                     ↔

garis yang melalui titik A dan titik C, atau garis yang memuat titik A dan titik C. Lambang “ B C ” 

artinya garis yang melalui titik B dan titik C, atau garis yang memuat titik B dan titik C. Lambang

  ↔                             ↔

 “B C” dan lambang “B A” maknanya sama, yaitu garis yang melalui titik A dan titik B, atau garis yang memuat titik A dan titik B. 

Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Line : unlimited length, straight, no thickness, no endpoints. A line as part of a physical situation. A line as the thinnest streak you can draw. A line is an idea or abstraction. Since a line cannot be defined using simpler

term it is an undefined term.

  

3. Bidang  

Sebuah bidang dapat diperluas seluas-luasnya/tidak ada batas, terus kesegala arah, datar, tidak tebal. Pada umumnya sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil bidang. Wakil suatu bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar. Gambar dari wakil bidang dapat berbentuk persegi atau bujur sangkar, persegi panjang, atau jajargenjang. Nama dari wakil bidang dituliskan di sudut bidang dengan memakai huruf α, β, γ atau H, U, V, W atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu.  

 

Sebuah bidang difikirkan sebagai suatu himpunan titik berderet dan berjajar secara rapat dan tak terbatas, tetapi tidak memiliki ketebalan. Sebuah bidang direpresentasikan dengan gambar sebuah jajargenjang, dan nama sebuah bidang dapat menggunakan sebuah huruf kapital atau huruf Yunani.

Bidang merupakan komponen bangun ruang yang mempunyai luas. Bidang dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik. Yang disebut bidang di sini adalah bidang datar, yaitu bangun yang dapat digambarkan sebagai suatu yang datar dan mempunyai luas tidak terbatas. Bidang digambarkan dengan model terbatas yang mewakilinya. Bidang tersebut dinamakan bidang α atau bidang ABC. Harus diingat, penamaan bidang dengan titik-titik yang dilaluinya minimal menggunakan tiga titik.

Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Plane : no boundary, continues in all directions, flat, not thickness. A plane as a part of a physical object. A plane as the thinnest slice you can cu

 

B. Kedudukan Titik-titik dan Jarak antara Dua Titik

Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “a point is that which has no part”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam. Misalnya sebuah bola yang menggelinding pada permukaan bidang miring dapat dinyatakan sebagai sebuah titik yang bergerak sehingga titik tersebut mengalami perpindahan tempat. Posisi bola saat di bagian atas tidak sama dengan posisi bola saat berada di pertengahan bidang. Proses menelaah sifat titik-titik di berbagai posisi tersebut maka dibutuhkan bantuan aljabar untuk menyatakan posisi titik dalam suatu simbol tertentu.

Gambar 1.3. Representasi Titik yang Berpindah posisi  

Metode yang digunakan untuk menunjukkan posisi sebuah titik pada sebuah bidang mirip seperti teknik menggambar peta. Posisi suatu tempat pada permukaan bumi dinyatakan oleh koordinat peta yaitu derajat lintang (arah utara atau selatan) dan derajat bujur (arah timur atau barat). Posisi acuan untuk koordinat bujur-lintang tersebut yaitu Kota Greenwich di Inggris. Perhatikan gambar dan penjelasan di bawah ini. Misalkan kurva NGAS adalah meridian utama, kurva AWBE adalah garis ekuator, dan titik G adalah kota Greenwich maka posisi kota P dapat dinyatakan sebagai koordinat peta apabila derajat AB dan BP diketahui. Andaikan AB = 70° dan BP = 45° maka posisi P dinyatakan sebagai 70° bujur timur dan 45° lintang utara.  

Gambar 1.4. Representasi Koordinat Peta

Geometri analitik menyederhanakan koordinat peta tersebut dengan menggunakan dua garis lurus berpotongan untuk menggantikan kurva meridian dan kurva ekuator. Titik potong kedua garis dijadikan sebagai titik acuan biasanya dinyatakan sebagai titik O. Posisi titik P dinyatakan oleh panjang ruas garis BP yang sejajar dengan garis sumbu X¢X dan panjang ruas garis AP yang sejajar garis sumbuYY¢. Panjang ruas garis BP sama dengan panjang ruas garis OA. Panjang ruas garis AP sama dengan panjang ruas garis OB. Sehingga titik P dapat dinyatakan berada pada posisi sejauh panjang OA dan OB terhadap titik O.

 Gambar 1.5. Representasi Titik dalam Sistem Koordinat

  

Dua buah titik berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

11)    Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.

22)    Buat sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus.

33)    Tentukan titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB

44)    Tentukan panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras : 

 

 

Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x² + y² = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x² + y² = 1. Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut. 

Teorema 1.1

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d .

 

Gambar Teorema 1.1

Teorema 1.2 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l.

 

Gambar Teorema 1.2

Teorema 1.3

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar.

 

Gambar Teorema 1.3 

Teorema 1.4

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l₁ dan l₂ merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.

 

Gambar Teorema 1.4 

Teorema 1.5

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2

 

Gambar Teorema 1.5 

Teorema 1.6

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)

Teorema 1.7

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.

Teorema 1.8

Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.

Teorema 1.9

Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.